追補：正式には .sty は「パッケージファイル」 .cls は「クラスファイル」 と言うらしい。
> スタイルファイル (.sty,.cls)
— ワトソン (@wtsnjp) June 18, 2020
LaTeX2e では *.sty は「パッケージファイル」で *.cls は「クラスファイル」ということになっているはず．https://t.co/tkgrioAQ88
CTANに収録されているパッケージ（スタイルファイル）の場合
TeXLiveをフル以外でインストールしていた場合。元々TeXLiveをフルでインストールした場合は必要ないはず。
CTAN: Comprehensive TeX Archive Network に収録されていれば、
$ sudo tlmgr install パッケージ（スタイルファイル）名
等でインストール。（Windowsの場合、sudoはいらない。）
CTANに収録されているはずなのに、見つからない場合は、 Texエラー対処方法（tlmgrでパッケージをインストール） を参照のこと。
CTANに収録されていないパッケージ（スタイルファイル）の場合
CTANに収録されていないパッケージ（スタイルファイル）を使いたい場合は、以下の 1） または 2）のどちらかに保存。
1） texファイルと同じディレクトリ内
とくに何も考えず、コンパイルするtexファイルと同じディレクトリ内に配置すればいい。
2） TEXMFディレクトリ内にインストール
たびたびそのパッケージ（スタイルファイル）を使いたい場合は、
Linuxの場合、
/usr/local/texlive/texmf-local/tex
あたりに保存すればよい。
「配置場所は “厳密にここでなければならない” という規則はなく，LaTeX が見つけられさえすればよい」とのこと（LaTeX入門/各種パッケージの利用 - TeX Wiki）。
$TEXMFにパッケージ（スタイルファイル）を保存したら
sudo mktexlsr
を実行。（Windowsの場合、sudoはいらない。）
そもそも「TEXMF」ってどこ？
TeX Wikiなどで「$TEXMF (= {$TEXMFLOCAL,$TEXMFMAIN,$TEXMFDIST})」 と出てきたら、
C:\texlive\texmf-local
C:\texlive\2022\texmf-dist
Linuxなどなら、
/usr/local/texlive/texmf-local
/usr/local/texlive/2022/texmf-dist
の位置を指す。
パッケージ（スタイルファイル）の使い方
パッケージ（スタイルファイル）を使う場合は、
texファイルのプリアンブルに以下のように書く。
\usepackage{パッケージ（スタイルファイル）名（拡張子「.sty」はつけない）}